CULTURA PROFETICA: PENSAMIENTO LOGICO Y MATEMATICO

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

3.1. Expresiones Algebraicas

3.2. Signos de Agrupación

3.3. Operaciones entre Expresiones Algebraicas

3.4. Productos notables vs. Factorización.

3.5. Fracciones algebraicas

3.1. EXPRESION ALGEBRAICA:

Es el resultado de combinar mediante sumas y restas términos algebraicos. Según el número de términos las expresiones algebraicas son:

Un término

Monomio

Dos términos

Binomio

Tres términos

Trinomio

Cuatro o más términos

Polinomio

TÉRMINO ALGEBRAICO:

Es la combinación entre un número y una letra, a las cuales se les conoce como coeficientes y parte literal. En esta unión se distinguen las siguientes partes:

Exponente

Signo

Coeficiente

Variable(s)

Cuando un término no va precedido de signo negativo este se asume como positivo.

El coeficiente es un número real. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad.

La parte literal la constituyen las variables que son letras del alfabeto, cada una de las variables acompañada de un exponente que nos indican el grado literal o absoluto del término.

El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por ejemplo el término x3y2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con respecto a y y de primer grado con respecto a x.

GRADO DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA:

El grado de una expresión algebraica puede absoluto y con relación a una variable.

GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO:

Es la suma de los exponentes de las variables que conforman el término algebraico.

Ejemplo:

Quinto grado.

Cuarto grado.

GRADO CON RELACION A UNA VARIABLE:

Es el mayor exponente que tiene una variable en la expresión algebraica.

Ejemplo:

Es de quinto grado con respecto a

y de tercer grado con respecto a

CLASES DE TERMINOS SEMEJANTES

Términos algebraicos homogéneos:

Son aquellos términos algebraicos que tienen el mismo grado absoluto

Términos algebraicos heterogéneos:

Son aquellos términos algebraicos que NO tienen el mismo grado absoluto

Ejemplos:

Son términos homogéneos pues 5+1= 6 y 4+2=6

9bd y

Son términos heterogéneos pues 1+1=2 y 7+1=8

De acuerdo a la forma que tiene la parte literal, los términos algebraicos pueden clasificarse como:

Término entero:

Es aquel término que no tiene denominador literal.

Ejemplo:

Término fraccionario:

Es aquel término algebraico que tiene denominador literal.

Ejemplo:

Término racional:

Es aquel término algebraico que no tiene radicales.

Ejemplo:

Término irracional:

Es aquel término algebraico que no tiene radicales.

Ejemplo:

TERMINOS SEMEJANTES:

Los términos algebraicos son semejantes, si poseen la misma parte literal y cada una de las variables de dicha parte literal tiene el mismo exponente en cada término.

Ejemplo:

Son términos semejantes.

No son términos semejantes.

REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES:

Se llama reducción de términos semejantes a la operación de convertir los términos semejantes en un solo término, mediante la adición o sustracción de los mismos. Presentándose los siguientes casos:

a. Para reducir términos semejantes que tengan igual signo se suman los coeficientes colocando a la suma el mismo signo que tienen todos los términos y a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplo:

b. Para reducir términos semejantes que tengan distintos signos se restan los coeficientes colocando a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal

Ejemplo:

c. Para reducir varios términos semejantes que tengan distintos signos se reducen todos los términos positivos a un solo término y todos los términos negativos a un solo término y se restan los coeficientes de los términos así obtenidos colocando a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplo:

CLASES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Si una expresión algebraica está formada por un solo término algebraico se denomina monomio.

Ejemplo:

Si una expresión algebraica está formada por dos o más términos llama polinomio. En los casos que el polinomio tenga dos términos se le da el nombre de binomio y si tiene tres términos el de trinomio.

Ejemplos:

Polinomio

→ Trinomio

→ Binomio

Un polinomio puede ser:

Entero: Cuando ninguno de sus términos algebraicos tiene factor literal.

Ejemplos

Fraccionario: Cuando alguno de sus términos algebraicos tiene literales en el denominador.

Ejemplo:

Racional: Cuando sus términos algebraico no contiene radicales.

Ejemplo:

Irracional: Cuando sus términos algebraico contiene radicales.

Ejemplo:

Homogéneo: Cuando todos sus términos algebraicos tienen el mismo grado absoluto.

Ejemplo:

Heterogéneo: Cuando sus términos algebraicos no tienen el mismo grado absoluto.

Ejemplo:

Completo con respecto a una variable:

Es aquel polinomio que tiene todos los exponentes sucesivos de dicha variable, desde el exponente más alto al más bajo.

Ejemplo:

Es completo con relación a la letra x, porque contiene todos los exponentes sucesivos de x desde el más alto que es 5 hasta el más bajo 0.

Ordenado (con respecto a una letra):

Es aquel polinomio en el cual los exponentes de una letra escogida van aumentando (orden ascendente o creciente) o disminuyendo (orden descendente o decreciente), no importa que falten términos.

Ejemplo:

Ordenado en forma decreciente.

Ordenado en forma creciente.

ACTIVIDAD PROPUESTA 1

A. Reduzca las siguientes expresiones algebraicas:

3.2. SIGNOS DE AGRUPACION:

Los signos de agrupación son símbolos que ayudan a operacionalizar expresiones, a comprender que operación se debe desarrollar en el algebra y específicamente al trabajo con términos semejantes. Esto signos ha saber son:

Paréntesis

Corchetes

Llaves

Para resolver operaciones entre expresiones algebraicas, utilizando signos de agrupación, se deben tener en cuenta algunas consideraciones a saber:

Si el signo de agrupación esta antecedido con un signo positivo (+), el signo de agrupación se elimina multiplicando los signos que contengan los términos que están dentro de él, con el signo externo.

Ejemplo:

Si el signo de agrupación esta antecedido con un signo negativo (-), el signo de agrupación se elimina multiplicando los signos que contengan los términos que están dentro de él, con el signo externo, obteniendo el cambio de operación de cada expresión.

Ejemplo:

Si el signo de agrupación esta antecedido por un número, el signo de agrupación se elimina multiplicando el número real con cada término que están dentro de él.

Ejemplo:

NOTA:

Existen expresiones donde combinan varios signos de agrupación, los cuales se solucionan, comenzando a resolver desde el signo más interno, hasta llegar al externo, teniendo en cuenta la ley de los signos en cada operación básica.

Ejemplo:

Eliminamos

Reducimos términos semejantes

VALOR NUMERICO DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA:

El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene de reemplazar cada una de las variables por valores numéricos dados, luego se efectúa las operaciones indicadas en el ejercicio planteado.

Ejemplo: Calcular el valor numérico de la siguiente expresión si

Para resolver estas expresiones, se sustituyen cada variable por los valores dados.

ACTIVIDAD PROPUESTA 2

A. Reduzca las siguientes expresiones algebraicas:

Hallar el valor numérico de cada expresión, si :

3.3. OPERACIONES ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

SUMA O ADICION:

Es la operación entre expresiones algebraicas donde se reducen términos semejantes en una sola expresión.

SUMA ENTRE MONOMIOS:

Para sumar dos monomios deben tener la misma parte literal, en la solución se mantiene ésta y se suman los coeficientes cuando son semejantes o dejando indicada la operación si no son semejantes..

Ejemplo:

a. Sumar

Escribiendo los términos en forma de adición tenemos:

Eliminamos paréntesis y como no hay términos semejantes la respuesta es:

b. Sumar

Escribiendo los términos en forma aditiva tenemos:

Eliminamos paréntesis nos queda:

Reduciendo términos semejantes la respuesta es:

SUMA ENTRE POLINOMIOS:

Dos o más polinomios se suman agrupando términos de uno y otro; y simplificando los monomios semejantes.

Ejemplo:

a. Sumar

Lo primero que haremos es escribir los polinomios en forma de adición:

Eliminamos paréntesis:

Reducimos términos semejantes de mayor a menor grado:

RESTA O SUSTRACCION:

Es la operación que consiste en encontrar la diferencia que hay entre dos términos. Al primer término se le denomina minuendo y al segundo término sustraendo.

RESTA ENTRE MONOMIOS:

Para la resta nos darán dos monomios como mínimo , el minuendo (Primer monomio) se escribe primero y el sustraendo (Segundo monomio) se escribe en seguida con su respectivo signo, y se resuelven los coeficientes dejando la misma parte literal cuando son semejantes o dejando indicada la operación si no son semejantes.

Ejemplo:

a. De

restar

por tanto,

b. Restar

por tanto,

Eliminamos paréntesis:

Reduciendo términos semejantes:

RESTA ENTRE POLINOMIOS:

A los términos del minuendo se le resta los términos del sustraendo, así que se escribe primero polinomio y luego el segundo polinomio con signo contrario para luego reducir términos semejantes si los hay.

Ejemplo:

a. De

restar

Escribimos el primer polinomio y luego el segundo:

Destruyendo paréntesis:

Reduciendo términos semejantes:

b. Restar

Escribimos primero el polinomio y luego el segundo polinomio:

Destruyendo paréntesis:

Reduciendo términos semejantes:

MULTIPLICACION O PRODUCTO:

Es la operación que consiste en tomar los dos factores y hallar una tercera cantidad llamada producto.

MULTIPLICACION ENTRE MONOMIOS:

Dado dos monomios se multiplican signos aplicando la ley de los signos en la multiplicación, luego se multiplican los coeficientes y por último se escriben las variables en orden alfabético, se suman los exponentes de los elementos con la misma base.

Ejemplo:

a. Multiplicar

por

Multiplicando signos, coeficientes y variables entre si tenemos:

b. Multiplicar

por

Multiplicando signos, coeficientes y variables entre si tenemos:

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS POR MONOMIOS

Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la ley de los signos de la multiplicación y se suman los exponentes de los elementos con la misma base. Se separan los productos parciales con los signos que se producen en la multiplicación.

Ejemplo:

a. Multiplicar

por

Tendremos que

Multiplicando los términos obtenemos

b. Multiplicar

por

Tendremos que

Multiplicando los términos obtenemos

MULTIPLICACION ENTRE POLINOMIOS:

Para multiplicar dos polinomios multiplicamos cada término algebraico del primer polinomio por cada término algebraico del segundo. Luego sumamos aquellos términos que sean semejantes. Ejemplo:

a. Multiplicar

por

Por tanto

Multiplicando los términos entre si obtenemos

Reduciendo términos semejantes

b. Multiplicar

por

Por tanto

Multiplicando monomios

Reduciendo términos semejantes

DIVISION O COCIENTE:

Es una operación inversa a la multiplicación o residuo, donde se descompone una expresión y consiste en averiguar cuántas veces una expresión (divisor) está contenida en otra expresión (el dividendo):

DIVIDENDO		DIVISOR
RESIDUO		COCIENTE

Que también puede expresarse:

DIVIDENDO= (COCIENTE x DIVISOR) +RESIDUO

DIVISION ENTRE MONOMIOS:

Dados dos monomios se dividen los signos aplicando ley de los signos, simplifican los coeficientes y se restan los exponentes de las variables de la parte literal que son semejantes.

ACTIVIDAD PROPUESTA 3

A. Resolver las operaciones indicadas con las expresiones algebraicas:

B. Resolver las multiplicaciones:

C. Resolver las multiplicaciones:

D. Encuentra el producto de los polinomios dados en cada caso:

E. Realice los siguientes productos y reduzca los términos semejantes:

F. Halla el área del rectángulo ABCD de dos maneras diferentes:

3.4. PRODUCTOS NOTABLES VS FACTORIZACIÓN

PRODUCTOS NOTABLES

Son productos entre expresiones algebraicas que pueden ser generalizados y cuyo desarrollo se puede hacer por simple inspección.

BINOMIO AL CUADRADO

A. El cuadrado de la suma de dos términos algebraicos es igual al cuadrado del primer término mas el duplo del producto del primer término por el segundo más el segundo al cuadrado.

Ejemplo:

B. El cuadrado de la resta de dos términos algebraicos es igual al cuadrado del primer término menos el duplo del producto del primer término por el segundo más el segundo al cuadrado.

Ejemplo:

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS TERMINOS ALGEBRAICOS

El producto de la suma por la diferencia de dos términos es igual a al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

Ejemplo:

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA

El producto de dos binomios de esta forma es igual al cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto de los términos no comunes.

Ejemplo:

BINOMIO AL CUBO

A. El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.

Ejemplo:

b. El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.

Ejemplo:

FACTORIZACION

La factorización es expresar un término algebraico como el producto de otros términos llamados factores. En el caso de números reales utilizamos los números primos que, al multiplicarlos resulta el termino original. Por ejemplo, el número 20 se factoriza en números primos de la siguiente manera 2x2x5, y a² se factoriza a x a. Cuando se factoriza un polinomio como

su resultado es

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO

FACTOR COMUN

Se determinar el factor común es extraer el divisor común de los coeficientes y la parte literal con menor exponente común de un polinomio.

Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que resulta de dividir el polinomio dado por el factor común.

Ejemplos

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Se identifican los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante.

Y se calculan sus raíces cuadradas, dichas raíces serán los términos de la factorización.

Luego calculo el doble producto de los términos de las raíces; y luego nos fijamos si se verifica que el doble producto figura en el trinomio dado,

Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por dichos términos que surgen de las raíces.

Si el doble producto que aparece en el ”Trinomio dado” es positivo, entonces las raíces del Cuadrado del Binomio tendrán las dos el mismo signo.

Si el doble producto que aparece en el ”Trinomio dado” es negativo, entonces las raíces del Cuadrado del Binomio tendrán signos opuestos.

jemplos:

CUBO PERFECTO

Se identifican los cubos perfectos

Y calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán los términos de la factorización.

Luego calculo:

El triple producto del cuadrado del primer término de la factorización por el segundo.

El triple producto de la primer término de la factorización por el cuadrado de la segunda

Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el polinomio dado,

Si estos cálculos figuran en el polinomio dado, entonces decimos que es un Cubo Perfecto; y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas raíces.

Las raíces que figuran en el Cubo del Binomio, van a conservar su signo.

Ejemplos:

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos.

Calculo los términos de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno)

Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por dichos términos.

Ejemplos:

TRINOMIO DE LA FORMA DE LA FORMA

Se le calcula la raíz cuadrado al primer término.

Se buscan dos números que multiplicados den el tercer termino y sumados el segundo termino del trinomio

Ejemplos:

SUMA DE CUBOS

El procedimiento de factorización en este caso es:

Se extrae la raíz cúbica de los términos del binomio.

El primer factor de la solución es un binomio conformado por la suma de las raíces cubicas.

El segundo factor de la solución es un trinomio conformado por: El cuadrado de la raíz cubica de primer término menos el producto de las raíces cúbicas de los dos términos más el cuadrado de la raíz cubica del segundo término.

Ejemplo:

Factorizar

Aplicando el caso de factorización

Se obtiene como resultado:

RESTA DE CUBOS

El procedimiento de factorización en este caso es:

Se extrae la raíz cúbica de los términos del binomio.

El primer factor de la solución es un binomio conformado por la resta de las raíces cubicas.

El segundo factor de la solución es un trinomio conformado por: El cuadrado de la raíz cubica de primer término más el producto de las raíces cúbicas de los dos términos más el cuadrado de la raíz cubica del segundo término.

Ejemplo:

Factorizar

Aplicando el caso de factorización

Se obtiene como resultado:

TRINOMIO DE LA FORMA

Este trinomio se diferencia de los anteriores casos en que el primer término puede tener coeficiente diferente de 1.

Se factoriza de la siguiente manera:

Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, dejando indicado el producto en el segundo término. Convirtiéndolo así en un trinomio de la forma:

Se cambian posición los coeficientes del producto del segundo término.

Se factoriza el trinomio utilizando el caso del trinomio de la forma

Se extrae factor común de cada uno de los binomios de la factorización.

Se divide por el coeficiente por el cual se multiplico en el primer paso, y se simplifica.

Ejemplo:

Factorizar

Se obtiene como resultado:

ACTIVIDAD PROPUESTA 4

A. Resolver los siguientes productos notables:

B. Resolver los siguientes productos notables:

C. Resolver los siguientes productos notables:

D. Resolver los siguientes productos notables:

E. Factorizar los siguientes ejercicios:

10)

11)

12)

4. ECUACIONES

4.1. Análisis y Modelación de un sistema de Ecuaciones Lineales

4.2. Métodos de solución de ecuaciones Lineales

4.3. Función Lineal

4.1. ANÁLISIS Y MODELACIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

$\overbrace{3x-1}^{\text{primer miembro}}=\overbrace{9+x}^{\text{segundo miembro}}$

La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es:

Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. También puede ocurrir que haya varios o incluso infinitos conjuntos de valores que la satisfagan.

En el caso de que todo valor posible de la incógnita haga cumplir la igualdad, la expresión se llama identidad. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación. Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial.

ECUACIÓN POLINÓMICA

Una ecuación polinómica es una igualdad entre dos polinomios. Realizando las mismas transformaciones y en el mismo orden, en los dos miembros de la ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero, razón por la cual se suele considerar que una ecuación polinómica es aquella en cuyo primer miembro aparece un polinomio y en cuyo segundo miembro aparece el cero.

Ejemplo:

Sumando

en ambos miembros, obtenemos:

En cuanto a las ecuaciones polinómicas de grado n de una sola variable sobre los números reales o complejos, estas pueden resolverse por el método de los radicales cuando

Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1.

Una ecuación de primer grado tiene la forma canónica:

Con a diferente de cero.

Su solución es la más sencilla:

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Dada la ecuación:

TRANSPOSICIÓN:

Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de la ecuación; normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:

Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía.

En otras palabras, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)

La ecuación quedará así:

Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado en el segundo miembro (a la derecha).

SIMPLIFICACIÓN:

El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.

Realizamos la simplificación del primer miembro y simplificamos el segundo miembro, de tal forma que la ecuación simplificada será:

DESPEJAR:

Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de la igualdad. Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía.

En otras palabras: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar su signo).

Si dividimos entre un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía.

En otros términos: si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sin cambiar su signo). En la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):

Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número

. Sin embargo, debemos simplificar.

Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.

En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)

Por tanto, simplificando, la solución es:

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO:

Ejemplo:

Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual al doble de las canicas que tengo menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica:

Se podría leer así:

“X número de canicas + 3 canicas es igual a 2 por el número x de canicas menos 2 canicas”.

El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:

Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:

Que, simplificado, resulta:

Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones (una a veces, que se repite con la otra). Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:

ECUACIONES DE LA FORMA

Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:

Pasamos -16 al segundo miembro

Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada

La ecuación tiene las siguientes soluciones

ECUACIONES DE LA FORMA

Tengamos:

En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:

Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o: